第十一章 bsd猜想(2/3)
经过长时间大量的计算与资料收集，贝赫和斯维纳通-戴尔观察出一些规律与模式，因而提出bsd猜想：设e是定义在代数数域 k 上的椭圆曲线，e(k)是 e 上的有理点的集合，已经知道 e(k)是有限生成交换群。记 l(s，e)是 e 的hasse-eil l函数。则e(k)的秩恰好等于l(e，s)在s=1处零点的阶，并且后者的taylor展开的第一个非零系数可以由曲线的代数性质精确表出。
前半部分通常称为弱bsd猜想，后半部分则是bsd猜想分圆域的类数公式的推广。
目前，数学家们仅仅证明了rank=0和1的弱bsd猜想成立，对于rank≥2部分的强bsd猜想，依旧无能为力。
此前庞学林也是沿着格罗斯、科茨走的那条路线，尝试在rank=0和1的基础上，推出rank≥2的bsd猜想，却发现渐渐走进了死胡同。
最近半年内，他始终没有任何进展。
因此，他非常好奇，系统给出的证明过程，到底采用了什么思路。
庞学林打开bsd猜想证明论文，看了起来。
bsd猜想的证明一共有六十多页，对对一个千禧难题级别的猜想而言，显得过于精简了一些。
不过这并不重要，当年佩雷尔曼证明庞加莱猜想的时候，才用了三十多页，因为过程太过简略，好多人都看不懂，在数学界的强烈要求下，佩雷尔曼勉强又补充了两篇文章，之后便再也不肯多给了。
但这并不妨碍佩雷尔曼的伟大。
因此，论文的长短并不重要，关键要看论文的质量。
庞学林并没有从开头开始细读，而是先粗略浏览。
粗略浏览，有助于他从整体上了解bsd猜想的证明思路。
不过很快，庞学林的眉头便皱了起来。
论文的开头，便给出了一个与当前数学界截然不同的思路。
论文的第一部分，写得是关于同余数问题的证明，即存在无穷多个素因子个数为任何指定正整数的同余数。
然后，推导出bsd对这样的e_d成立：d是某个8k+5型素数和若干8k+1型素数的乘积，只要\bbb q(\sqrt{-d})的类群的4倍映射是单的。
这就有意思了。
虽然当前数学界，已经有人尝试通过同余数问题去证明bsd猜想。
但这条路难度太大，还处于萌发状态，目前国际数学界并没有出现太多的成果。
这篇论文的出现，说明当前流行的bsd猜想证明方法，最终都会走向死胡同。
通过同余数问题证明bsd猜想，才是正确的思路。
庞学林凝神屏气，继续看下去。
……
给定素数p，(1)p \equiv 3(\od 8)：p不是同余数但2 p是同余数；(2)p \equiv 5(\od 8)：p是同余数；(3)p \equiv 7(\od 8)：p和2 p都是同余数。
(弱bsd猜想)bsd猜想对e_d成立。特别的，r_d>0当且仅当l(1，e_d)=0。
假定弱bsd猜想成立，则(1)理论上我们能够判定d是否为同余数；(2)tunnell定理给出在有限步内决定d是否为同余数的算法；(3)可以证明d \equiv 5，6，7(\od 8)时r_d为奇数，故这样的d均为同余数。
……
根据heegner点的高度理论——著名的gross-zagier公式可以将其与l'(1，e)联系起来。
而基于eichler， s
本章未完，请点击下一章继续阅读！
前半部分通常称为弱bsd猜想，后半部分则是bsd猜想分圆域的类数公式的推广。
目前，数学家们仅仅证明了rank=0和1的弱bsd猜想成立，对于rank≥2部分的强bsd猜想，依旧无能为力。
此前庞学林也是沿着格罗斯、科茨走的那条路线，尝试在rank=0和1的基础上，推出rank≥2的bsd猜想，却发现渐渐走进了死胡同。
最近半年内，他始终没有任何进展。
因此，他非常好奇，系统给出的证明过程，到底采用了什么思路。
庞学林打开bsd猜想证明论文，看了起来。
bsd猜想的证明一共有六十多页，对对一个千禧难题级别的猜想而言，显得过于精简了一些。
不过这并不重要，当年佩雷尔曼证明庞加莱猜想的时候，才用了三十多页，因为过程太过简略，好多人都看不懂，在数学界的强烈要求下，佩雷尔曼勉强又补充了两篇文章，之后便再也不肯多给了。
但这并不妨碍佩雷尔曼的伟大。
因此，论文的长短并不重要，关键要看论文的质量。
庞学林并没有从开头开始细读，而是先粗略浏览。
粗略浏览，有助于他从整体上了解bsd猜想的证明思路。
不过很快，庞学林的眉头便皱了起来。
论文的开头，便给出了一个与当前数学界截然不同的思路。
论文的第一部分，写得是关于同余数问题的证明，即存在无穷多个素因子个数为任何指定正整数的同余数。
然后，推导出bsd对这样的e_d成立：d是某个8k+5型素数和若干8k+1型素数的乘积，只要\bbb q(\sqrt{-d})的类群的4倍映射是单的。
这就有意思了。
虽然当前数学界，已经有人尝试通过同余数问题去证明bsd猜想。
但这条路难度太大，还处于萌发状态，目前国际数学界并没有出现太多的成果。
这篇论文的出现，说明当前流行的bsd猜想证明方法，最终都会走向死胡同。
通过同余数问题证明bsd猜想，才是正确的思路。
庞学林凝神屏气，继续看下去。
……
给定素数p，(1)p \equiv 3(\od 8)：p不是同余数但2 p是同余数；(2)p \equiv 5(\od 8)：p是同余数；(3)p \equiv 7(\od 8)：p和2 p都是同余数。
(弱bsd猜想)bsd猜想对e_d成立。特别的，r_d>0当且仅当l(1，e_d)=0。
假定弱bsd猜想成立，则(1)理论上我们能够判定d是否为同余数；(2)tunnell定理给出在有限步内决定d是否为同余数的算法；(3)可以证明d \equiv 5，6，7(\od 8)时r_d为奇数，故这样的d均为同余数。
……
根据heegner点的高度理论——著名的gross-zagier公式可以将其与l'(1，e)联系起来。
而基于eichler， s
本章未完，请点击下一章继续阅读！